跳跃游戏 | 秋招知识库

题意：从 $i$ 可以跳到闭区间 $[i, i + {nums}_{i}]$ 中的任意整数。问：能不能从 $0$ 跳到 $n - 1$ ？

先看示例 2， $nums = [3, 2, 1, 0, 4]$ 。我们在遍历数组的同时，维护最右可以到达的位置 $mx$ ，如下表：

$i$	${nums}_{i}$	$i + {nums}_{i}$	$mx$
$0$	$3$	$3$	$3$
$1$	$2$	$3$	$3$
$2$	$1$	$3$	$3$
$3$	$0$	$3$	$3$
$4$	$4$	$8$	失败

从 $0$ 可以跳到 $1, 2, 3$ ，但是无法从 $1, 2, 3$ 中的任何位置跳到 $4$ 。当我们遍历到 $i = 4$ 时，发现

i > mx

这意味着 $i$ 是无法到达的，返回 $false$ 。

然后来看示例 1， $nums = [2, 3, 1, 1, 4]$ ，在遍历数组的同时，维护最远可以到达的位置 $mx$ ，如下表：

$i$	${nums}_{i}$	$i + {nums}_{i}$	$mx$
$0$	$2$	$2$	$2$
$1$	$3$	$4$	$4$
$2$	$1$	$3$	$4$
$3$	$1$	$4$	$4$
$4$	$4$	$8$	$8$

从 $0$ 可以跳到 $1, 2$ ，最远可以到达的位置 $mx = 2$ 。能否跳到更远的位置？那就看从 $1$ 能跳到哪些位置，从 $2$ 能跳到哪些位置。

从 $1$ 可以跳到 $2, 3, 4$ ， $mx$ 更新成 $4$ 。

从 $2$ 可以跳到 $3$ ， $mx$ 不变。

从 $3$ 可以跳到 $4$ ， $mx$ 不变。

到达 $4$ ，返回 $true$ 。

一般地，算法如下：

从左到右遍历 $nums$ ，同时维护能跳到的最远位置 $mx$ ，初始值为 $0$ 。
如果 $i > mx$ ，说明无法跳到 $i$ ，返回 $false$ 。
否则，用 $i + {nums}_{i}$ 更新 $mx$ 的最大值。
如果循环中没有返回 $false$ ，那么最后返回 $true$ 。

另一种理解方式是，把每个 ${nums}_{i}$ 看成闭区间 $[i, i + {nums}_{i}]$ ，问题变成判定这 $n$ 个区间能否合并成一个大区间（而不是多个区间），这可以用 56. 合并区间的算法解决。

Python 解法1C++ 解法1

python

class Solution:
    def canJump(self, nums: List[int]) -> bool:
        mx = 0
        for i, jump in enumerate(nums):
            if i > mx:  # 无法到达 i
                return False
            mx = max(mx, i + jump)  # 从 i 最右可以跳到 i+jump
        return True

cpp

// C++ 版待补充

C++ 解法2

cpp

class Solution {
public:
    bool canJump(vector<int>& nums) {
        int mx = 0;
        for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
            if (i > mx) { // 无法到达 i
                return false;
            }
            mx = max(mx, i + nums[i]); // 从 i 最右可以跳到 i + nums[i]
        }
        return true;
    }
};

也可以在 $mx \geq n - 1$ 时就返回 $true$ ，这可以让我们提前退出循环。

Python 解法3C++ 解法3

python

class Solution:
    def canJump(self, nums: List[int]) -> bool:
        mx = 0
        for i, jump in enumerate(nums):
            if i > mx:  # 无法到达 i
                return False
            mx = max(mx, i + jump)  # 从 i 最右可以跳到 i + jump
            if mx >= len(nums) - 1:  # 可以跳到 n-1
                return True

cpp

// C++ 版待补充

C++ 解法4

cpp

class Solution {
public:
    bool canJump(vector<int>& nums) {
        int mx = 0;
        for (int i = 0; mx < nums.size() - 1; i++) {
            if (i > mx) { // 无法到达 i
                return false;
            }
            mx = max(mx, i + nums[i]); // 从 i 最右可以跳到 i + nums[i]
        }
        return true;
    }
};

复杂度分析

时间复杂度： $O (n)$ ，其中 $n$ 是 $nums$ 的长度。
空间复杂度： $O (1)$ 。

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